定义：

    线性组合是线性代数中的一个基本概念。对于一组向量${\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2,\cdots ,{\mathbf{v}}_n$和一组标量（实数或复数）$c_1,c_2,\cdots ,c_n$，线性组合是指通过将每个向量乘以对应的标量然后相加得到的新向量，表达式为$\mathbf{y}=c_1{\mathbf{v}}_1+c_2{\mathbf{v}}_2+\cdots +c_n{\mathbf{v}}_n$。其中$\mathbf{y}$就是向量${\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2,\cdots ,{\mathbf{v}}_n$的线性组合。

理解：

以主成分分析（PCA）为例通俗解释

数据分布想象：把数据想象成散落在一个多维空间中的点。比如有一个二维数据集，这些点在平面上分布，可能会呈现出某种形状，像是沿着某个方向“伸展”或者有一定的“倾斜”角度。

寻找主要变化方向：PCA的目的是找到数据变化最大的方向，也就是数据最“伸展”的方向。这个方向可以用一个向量来表示，而这个向量实际上就是原始变量（坐标轴）的线性组合。为什么是线性组合呢？因为在二维空间中，我们可以把新的方向（主成分）看作是原来的x轴和y轴方向向量按照一定比例（标量）相加得到的。

提取主要特征的意义：数据在这个主要变化方向上的差异（方差）最大，意味着这个方向包含了数据的最多信息。例如，在一个关于学生成绩的数据集，包括数学成绩和语文成绩两个变量（二维数据），如果发现大部分学生的成绩点在平面上沿着一个对角线方向分布，这个对角线方向就是一个主成分，它可能代表了学生的综合学习能力。通过将数据投影到这个主成分方向上，就提取了数据中关于综合学习能力的主要特征，忽略了一些次要的变化方向。

从信息保留角度理解

降维的必要性：在高维数据中，可能存在很多噪声或者冗余信息。例如，在一个包含很多产品属性（颜色、尺寸、重量、价格等多个变量）的数据集里，有些属性之间可能有很强的相关性。如果能找到一种方式把这些相关的属性组合起来，就可以减少维度，同时保留最重要的信息。

线性组合的优势：线性组合可以把那些高度相关的变量合并成一个新的变量（主成分）。以产品属性为例，如果颜色和外观设计这两个变量高度相关，通过线性组合把它们合并成一个代表产品“视觉吸引力”的主成分。这个主成分能够在一定程度上代表原来两个变量的共同信息，而且因为它是基于数据的内在相关性构建的，所以可以更好地提取和保留数据的主要特征，就像把零散的信息碎片整合起来，形成更有代表性的信息块。

类比日常生活中的例子

光线混合类比：想象我们有红、绿、蓝三原色的光（可以看作是三个原始变量）。通过不同强度（标量）的混合（线性组合），可以产生各种各样的颜色。在分析一幅图像的颜色特征时，我们可以找到一些主要的颜色混合方式（主成分）来提取图像颜色的主要特征。例如，对于一幅以暖色调为主的风景图像，可能发现主要的颜色组合是红色和黄色的某种混合（线性组合），这个组合就代表了图像颜色的主要特征，而不是分别去考虑红、绿、蓝三种颜色的细节。